Obiettivi
Il corso fornisce uno studio matematico introduttivo di alcune notevoli equazioni alle derivate parziali di tipo evolutivo che descrivono fenomeni di trasporto e diffusione. Si evidenzieranno i legami tra le proprietà fisiche dei sistemi e le proprietà matematiche dei modelli corrispondenti, in particolare l'equazione di Boltzmann lieare e il modello di materia soffice (continui).
Prerequisiti
Nozioni di base di analisi matematica, algebra lineare, meccanica e analisi funzionale.
Contenuti
Primo modulo (3 CFU - F. Salvarani)
Trasporto e diffusione
Introduzione.
Origine delle equazioni di trasporto e diffusione: il random walk, equazione del calore ed equazione del trasporto libero. Il formalismo della teoria cinetica. Scaling di trasporto e di diffusione. Passaggio formale dal trasporto alla diffusione.
L'equazione lineare del trasporto libero.
Il problema di Cauchy. Il metodo delle caratteristiche, stime. Il problema al valore iniziale e al contorno. Bordo entrante, uscente e caratteristico. Tempo di uscita retrogrado, regolarità. Termini di sorgente e assorbimento. Principio del massimo. L'equazione stazionaria del trasporto: teorema di esistenza ed unicità, principio del massimo. Condizioni al contorno "di rinnovo".
Introduzione ai metodi numerici alle differenze finite per l'equazione del trasporto libero.
Consistenza, stabilità e convergenza per metodi numerici alle differenze finite. Gli schemi di Lax-Friedrichs, Upwind e Diamante. Loro proprietà fondamentali.
Equazioni cinetiche
L'equazione di Boltzmann lineare: il problema di Cauchy, problemi ai limiti (condizioni sul bordo entrante, di riflessione speculare e diffusa). Il lemma di Darrozes-Guiraud. Il limite di diffusione per l'equazione di Boltzmann lineare.
Comportamento asintotico di equazioni cinetiche.
- Docente: FRANCESCO SALVARANI